Определители

«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их
Д. Пойа (1887-1985 г.)

(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)





С каждой квадратной матрицей связывают число. Это число называется определителем матрицы. Определитель вычисляется по особым правилам и обозначается |A|, det A, ΔA.

Число строк (столбцов) определителя называется его порядком.

Определитель первого порядка матрицы определитель 1 порядка равен элементу a11: |A|=a11

ПРИМЕРЫ:

определитель 1 порядка

Не путать определитель первого порядка с модулем.


Определитель второго порядка обозначается символом

определитель 2 порядка


и равен |A|=a11a22-a12a21

ПРИМЕРЫ:

примеры

Определитель 3-го порядка обозначается символом

определитель 3 порядка




и равен

правило вычисления


Для запоминания этой формулы используют схематические правила (правило треугольника или Саррюса)

Правило Саррюса.

правило Саррюса

Правило треугольника.

правило треугольника






Посмотрим на примере, как используются эти правила.

ПРИМЕР:

Правило Саррюса

Допишем к определителю два первых столбца.

пример

Правило треугольника

пример

Такой способ вычисления определителей не подходит для определителей 4-го порядка и выше. Прежде чем указать правило, которое позволяет находить определители любого порядка, рассмотрим понятие алгебраического дополнения элемента матрицы.

Алгебраическим дополнением (Аij ) элемента аij определителя матрицы А называется число, равное произведению (-1)i+j (в степени номер строки плюс номер столбца этого элемента) на определитель, который получается из данного в результате вычеркивания строки и столбца, где стоит этот элемент.


ПРИМЕР:

определитель






Вычислить алгебраическое дополнение А21 элемента а21 .

РЕШЕНИЕ:

По определению алгебраического дополнения

пример

Вычисление определителя произвольного порядка.Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя 4-го порядка по первой строке выглядит следующим образом:

ПРИМЕР: Вычислить определитель

РЕШЕНИЕ: Разложим определитель по второму столбцу (Выбирать лучше ту строку (или тот столбец), где больше нулей, если они есть).

Упражнения к уроку:

Показать ответ


Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий


Введите сумму чисел с картинки

© 2013-2017 www.math-around.ru. Все права защищены.
Все материалы сайта могут быть использованы только с согласия владельцев сайта и только c указанием активной ссылки на статью-источник.

Рейтинг@Mail.ru
 Яндекс.Метрика