Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.

«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их
Д. Пойа (1887-1985 г.)

(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)




Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

система линейных уравнений.

На вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.

Какая система называется совместной читать здесь

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений (СЛУ) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы (rp) равен рангу основной матрицы (ro).

Что называется расширенной матрицей читать здесь

Что такое ранг матрицы и как его найти читать здесь

Правила отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 1: Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 2: Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений.

МЕТОД ГАУССА

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения СЛУ является МЕТОД ГАУССА, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

СУЩНОСТЬ МЕТОДА ГАУССА. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатой, восстанавливают систему, которая является равносильной исходной системе, и находят решение.

Как данную матрицу привести к ступенчатой читать здесь

Рассмотрим этот метод на примерах.

ПРИМЕР 1:

система линейных уравнений 1

РЕШЕНИЕ:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Решение СЛУ 1

Ранг основной матрицы равен 2 (ro=2), а ранг расширенной – 3 (rp=3), поэтому по теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

(Последняя строка представляет собой уравнение вида: 0=1. Поэтому делаем вывод, что система несовместна.)

Ответ: система несовместна.

Замечание: Если хотя бы одна строка имеет вид:

строка (000|1)

то система несовместна.

ПРИМЕР 2:

Пример 2

РЕШЕНИЕ:

Решение примера 2

ro=rp=3, поэтому по теореме Кронекера-Капелли система совместна, причем ранг системы равен числу неизвестных, следовательно система имеет единственное решение.

Найдем его

Решение примера 2

Ответ: (4;1;-5)

ПРИМЕР 3:

Пример 3

РЕШЕНИЕ:

Решение примера 3

Третья и четвертая строки получились нулевыми. Их можно вычеркнуть.

ro=rp=2, поэтому по теореме Кронекера-Капелли система совместна, причем ранг системы меньше числа неизвестных, следовательно система имеет бесконечное число решений.

Найдем их

Решение примера 3

Ответ:

Ответ примера 3

Упражнения к уроку:

Решите системы методом Гаусса

Системы

Показать ответ


Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий


Введите сумму чисел с картинки

© 2013-2017 www.math-around.ru. Все права защищены.
Все материалы сайта могут быть использованы только с согласия владельцев сайта и только c указанием активной ссылки на статью-источник.

Рейтинг@Mail.ru
 Яндекс.Метрика