Метод Жордана-Гаусса 

Метод Жордана-Гаусса

«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их
Д. Пойа (1887-1985 г.)

(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)





Метод Жордана-Гаусса

Алгоритм метода Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений

1) Выписать расширенную матрицу системы. (Что такое расширенная матрица читать здесь)

2) Выбрать ведущий элемент (любой ненулевой элемент) в любой строке и в любом столбце, кроме последнего. ( Строка и столбец, в которых он находится называют ведущими ).

3) Выполнить жорданово исключение с выбранным ведущим элементом. Отметить ведущую строку и все строки, помеченные ранее.

4) Если хотя бы одна строка имеет вид: (0 0 … 0 : b ), b ≠ 0, то система решений не имеет. Ответ. Система несовместна.

5) Если все ненулевые строки матрицы помечены, то выписать систему и найти ее общее решение. Ответ. Общее решение системы.

6) Выбрать ведущий элемент в любой непомеченной строке и в любом столбце, кроме последнего. Перейти к пункту 3.

Выполнить жорданово исключение с ведущим элементом аij означает выполнить следующие действия:

1) разделить ведущую строку на ведущий элемент;

2) заполнить свободные места в ведущем столбце нулями;

3) остальные элементы матрицы пересчитать по формуле, называемой «правилом прямоугольника».

Изобразим это правило схематически. Ведущий элемент будем выделять рамкой. Стрелками показаны элементы, которые перемножаются в числителе дроби. Эти элементы расположены на диагоналях прямоугольника, образованного ведущим элементом аij, пересчитываемым элементом аkl и элементами, которые находятся на пересечении ведущей строки и столбца l, ведущего столбца и строки k.

Правило прямоугольника

Замечания.

1. В числители дроби всегда от произведения с ведущим элементом (вне зависимости от того в какой вершине прямоугольника стоит ведущий элемент) вычитается произведение элементов, которые находятся на пересечении ведущей строки и столбца l, ведущего столбца и строки k.

2. Если в ведущей строке есть нулевой элемент, то столбец, в котором он находится, при жордановом исключении не меняется.

3. Если в ведущем столбце есть нулевой элемент, то строка, в которой он находится, при жордановом исключении не меняется.

Рассмотрим примеры решения систем методом Жордана-Гаусса.

СЛУ. Пример.

РЕШЕНИЕ:

Выпишем расширенную матрицу системы

Расширенная матрица системы

Выбираем ведущий элемент (ведущий элемент будем выделять рамкой):

Расширенная матрица системы

Выполним жорданово исключение с ведущим элементом а13=1:

1) разделим ведущую строку на 1;

2) заполним свободные места в третьем столбце нулями;

3) в ведущем столбце во второй строке есть нулевой элемент (а23=0), поэтому вторую строку перепишем без изменений (замечание 3);

4) остальные элементы матрицы (а именно четыре оставшихся элемента третьей строки) пересчитаем по «правилу прямоугольника».

Элементы третьей строки

В получившейся матрице пометим галочкой первую строку:

матрица системы

Теперь в этой матрице выберем ведущий (любой ненулевой) элемент в любой непомеченной строке и в любом столбце, кроме последнего, например, а21=1.

матрица системы

Выполним жорданово исключение с ведущим элементом а21=1:

1) разделим ведущую строку на 1;

2) заполним свободные места в первом столбце нулями;

3) в ведущей строке в третьем столбце есть нулевой элемент (а23=0), поэтому третий столбец перепишем без изменений (замечание 2);

4) остальные элементы матрицы пересчитаем по «правилу прямоугольника».

Пометим галочками ведущую (вторую) строку и строку, помеченную ранее.

В результате получится матрица:

матрица системы

В последней матрице все элементы третьей строки, кроме элемента расположенного в последнем столбце, равны нулю. Следовательно, данная система несовместна (п. 4 в алгоритме метода Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений).

ОТВЕТ: Система несовместна.



  1. Пример СЛУ


Показать ответ


  1. Пример СЛУ


Показать ответ



Комментарии к этой заметке:

Роман

26.05.2017

хороший сайт, но для знающих

Роман

26.05.2017

Но щас матика далека от многих, а все курсы похожи на экскурсии по музею. Хорошо было бы, если бы курсы давали не "стройную систему", а конкретное руководство.

Добавить Ваш комментарий


Введите сумму чисел с картинки

© 2013-2018 www.math-around.ru. Все права защищены.
Все материалы сайта могут быть использованы только с согласия владельцев сайта и только c указанием активной ссылки на статью-источник.

Рейтинг@Mail.ru
 Яндекс.Метрика