Теория вероятности

В теории вероятности мы имеем дело с  экспериментами и опытами, которые проводятся в одинаковых условиях несколько раз.
Под опытом (экспериментом, испытанием) понимается осуществление  определенного (неизменяемого) комплекса условий.
В результате каждого эксперимента наблюдаем исход.
Этот исход может быть случаен (не предсказуем).
Одним из основных понятий теории вероятности является случайное событие и появляется оно в результате выполнения опыта.
Определение. Случайное событие (далее -  «событие» )– событие, которое может наступить в ходе некоторого опыта, а может не наступить.
Обозначение: А,B,C,….  (обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением  буквы P); А1, А2, А3, ... (заглавными латинскими буквами с нижним индексом) 

  Примеры событий:
  1. Выпадение  4 очков при бросании игрального кубика один раз (опыт-бросание кубика 1 раз; событие – выпадение 4 очков).
  2. Выпадение 3 орлов при бросании монеты 4 раз (опыт – бросание монеты 4 раза; событие – выпадение 3 орлов).
  3. Появление брака при выборе одного изделия (опыт – выбор изделия 1 раз; событие – бракованное изделие).

ВИДЫ СОБЫТИЙ

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате каждого опыта.
Обозначение: Ω.
Пример: Проводится опыт, в котором подбрасывают монету один раз. А – событие, в результате которого выпадет или орел, или решка. При подбрасывании монеты возможно 2 исхода: выпадет орёл, выпадет решка. Получается, что событие А произойдет всегда.
Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате опыта.
Обозначение:Ø
Примеры:

  • Проводят опыт, в котором из колоды карт (количество карт 36: от 6 до туза, всех мастей)выбирают одну карту. А – событие, в  котором выбрали карту с цифрой 2. Получается, что событие А никогда не произойдет, т.к. в колоде нет карт с такой цифрой.
  • Проводят опыт, в котором игральный кубик бросают 2 раза и находят сумму очков . А- событие, в котором мы должны получить в результате 20 очков. Это невозможно, т.к. максимальное выпадение очков при каждом бросании кубика – 6, т.е. наибольшая  сумма, которая возможна -  12.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно (вместе). В противном случае они называются совместными.
Пример несовместных событий:

  • Проводят опыт, в котором монету бросают 1 раз. Событие А- выпадет решка. Событие В- выпадет орел. При подбрасывании монеты возможно 2 исхода: выпадет орёл, выпадет решка. Получается, что в результате опыта события А, В одновременно произойти не могут. Т.о., А и В – несовместны.
Если, по условиям испытания нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, то все исходы являются равновозможными.
Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого.
Под противоположным событием 1   понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие A;.

ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

  1. СУММА ( ОБЪЕДИНЕНИЕ).
    Определение: Суммой(объединением) событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий (т.е. наступит или событие А, или событие В,  или оба события одновременно. Если события А и В несовместны, последний вариант отпадает, т.е. может наступить или событие А, или событие В ).
    Обозначение: А+В (или A U B).
    Примеры:
    • Проводят опыт, в котором монету бросают 2 раз. Событие А- выпадет орел при первом броске. Событие В- выпадет орел при втором броске. С = А + В-событие, в котором  хотя бы один раз выпадет орел (т.к. А и В совместны, то происходит или А, или В, или А ,В одновременно).
  1. ПРОИЗВЕДЕНИЕ (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ).

    Определение: Произведением (пересечением) событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходит и событие А, и событие В (одновременно).
    Обозначение: А•В (или 2 ).
    Примеры:

    • Проводят опыт, в котором монету бросают 2 раз.
      3- выпадет орел при первом броске;
      4 - выпадет решка при первом броске;
      5- выпадет орел при втором броске;
      6 - выпадет решка при втором броске;

    7 – событие, в котором орел выпадет при  двух  бросках.
    8 – событие, в котором при первом броске выпадет орел, а при втором решка.
    9 - событие, в котором при первом броске выпадет решка, а при втором орел.10– событие, в котором решка выпадет при двух бросках.

 

ТЕОРЕМЫ

1. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
а) Вероятность сложения произвольных событий А и В равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности произведения событий:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A•B)

б)Частный случай а.
Для несовместных событий  А и В         P(A•B) = 0     ,    поэтому   

P(A+B) = P(A) + P(B) .

в) Если событий А и 11 несовместны, то выполняются 12. Следовательно ,    13

14

2. ТЕОРЕМА ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:
а)Если события А и В независимы, то выполняется равенство  P(A•B) = P(A) • P(B).
б) Если выполняется равенство P(A•B) = P(A) • P(B), то  события А и В независимы.

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий


Введите сумму чисел с картинки

© 2013-2018 www.math-around.ru. Все права защищены.
Все материалы сайта могут быть использованы только с согласия владельцев сайта и только c указанием активной ссылки на статью-источник.

Рейтинг@Mail.ru
 Яндекс.Метрика