Давайте повторим определение угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть даны плоскость γ и прямая a, которая пересекает эту плоскость и не перпендикулярна к ней.

Построим угол между прямой a и плоскостью γ:

1. Из любой удобной для нас точки прямой a опустим перпендикуляр к плоскости γ;
2. Через точки оснований наклонной и перпендикуляра проведем прямую b . Прямая b - проекция прямой a на плоскость γ;
3. Острый угол между прямыми a и b – это угол между прямой a и плоскостью γ, т.е. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , где ∠(a;b) - угол между прямыми а и b; ∠(a;γ) - угол между прямой а и плоскостью γ.

Для решения задач с помощью метода координат нам необходимо вспомнить следующее:

1. Направляющим вектором  прямой a называется ненулевой вектор , который лежит либо на прямой a, либо на прямой , параллельной a;
2. Вектор нормали – это ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости γ.  Прямая s, на которой лежит  вектор нормали, перпендикулярна плоскости γ;

3. Если известны координаты направляющего вектора  { a₁; b₁; c₁}  и вектора нормали
 {a; b; c}, то угол между прямой а и плоскостью γ вычисляется по формуле, которую сейчас выведем.

Нам известна формула нахождения угла между прямыми:

        ;                    (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a;b),  тогда cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b)   ;       (2)
Из (1) и (2)      =>          ;         (3)                
 , где – угол между векторами m и n;       (4) 
Подставляем (4) в (3) и т.к. ∠(a;b)= ∠(a;γ), то получаем:

  

4. Если координаты вектора нормали неизвестны, то нам необходимо знать уравнение плоскости.

Любая плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнением

где  хотя бы один из коэффициентов  a, b, c отличен от нуля. Эти коэффициенты и будут координатами вектора нормали, т.е.  {a; b; c}.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью с помощью метода координат:

1. Делаем рисунок, на котором отмечаем прямую и плоскость;
2. Вводим прямоугольную систему координат ;
3. Находим координаты направляющего вектора по координатам его начала  и конца ;
4. Находим координаты вектора нормали к плоскости;
5. Подставляем полученные данные в формулу синуса угла между прямой и плоскостью;
6. Находим значение самого угла.

Рассмотрим задачу:
1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AC₁ и плоскостью BDD₁ .
Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке D.
2. Найдем координаты направляющего вектора АС₁. Для этого сначала определим координаты точек А и С₁:
А(0; 1; 0);
С₁(1; 0; 1).
{1; -1; 1}.
3. Найдем координаты вектора нормали к плоскости BB₁D₁. Для этого найдем координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, и составим уравнение плоскости:
D(0; 0; 0);
D₁(0; 0; 1);
В(1; 1; 0);
Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0. Подставим в это уравнение  координаты точек:
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D₁: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.
Получили систему из трех уравнений:

Подставим в уравнение: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:a
x-y = 0.
Т.о., вектор нормали к плоскости BDD₁ имеет координаты:
 {1;-1; 0}.
4. Найдем синус между прямой АС₁ и плоскостью BDD₁:

  
  
5. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем косинус угла между прямой АС₁ и плоскостью BDD₁:

6. Найдем тангенс угла между прямой АС₁ и плоскостью BDD₁:

;

.

Ответ: .

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке B.
2. Найдем координаты направляющего вектора BD. Для этого сначала определим координаты точек B и D:


3. Найдем координаты вектора нормали к плоскости SBC. Для этого найдем координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, и составим уравнение плоскости SBC:

Как получили координаты точки S ?

Из точки S опустили перпендикуляр к плоскости основания ABC. Точку пересечения обозначили О. Точка О - проекция точки S на плоскость ABC. Ее координаты по осям х и у будут первыми двумя координатами точки S.

Узнав значение высоты пирамиды, мы нашли третью координату точки S (по оси z)

Треугольник SOB - прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора:

Получили систему из трех уравнений:

Подставим в уравнение:

Т.о., вектор нормали к плоскости SBD имеет координаты:

.
4. Найдем синус между прямой BD и плоскостью SBD:

Ответ: .