Уважаемые студенты,

Там же будут ссылки на трансляции вебинаров за 30-60 минут до начала. Так что заходите в ТК.

Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

.

На вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.

Какая система называется совместной читать здесь

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений (СЛУ) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы (r_p) равен рангу основной матрицы (r_o).

Что называется расширенной матрицей читать здесь

Что такое ранг матрицы и как его найти читать здесь

Правила отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 1: Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 2: Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений.

МЕТОД ГАУССА

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения СЛУ является МЕТОД ГАУССА, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

СУЩНОСТЬ МЕТОДА ГАУССА. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатой, восстанавливают систему, которая является равносильной исходной системе, и находят решение.

Как данную матрицу привести к ступенчатой читать здесь

Рассмотрим этот метод на примерах.

ПРИМЕР 1:

РЕШЕНИЕ:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Ранг основной матрицы равен 2 (r_o=2), а ранг расширенной – 3 (r_p=3), поэтому по теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

(Последняя строка представляет собой уравнение вида: 0=1. Поэтому делаем вывод, что система несовместна.)

Ответ: система несовместна.

Замечание: Если хотя бы одна строка имеет вид:

ПРИМЕР 2:

РЕШЕНИЕ:

r_o=r_p=3, поэтому по теореме Кронекера-Капелли система совместна, причем ранг системы равен числу неизвестных, следовательно система имеет единственное решение.

Найдем его

Ответ: (4;1;-5)

ПРИМЕР 3:

РЕШЕНИЕ:

Третья и четвертая строки получились нулевыми. Их можно вычеркнуть.

r_o=r_p=2, поэтому по теореме Кронекера-Капелли система совместна, причем ранг системы меньше числа неизвестных, следовательно система имеет бесконечное число решений.

Найдем их

Ответ:

Упражнения к уроку:

Показать ответ